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交叉熵损失与均方误差损失

常规分类网络最后的softmax层如下图所示，传统机器学习方法以此类比，

一共有\(K\)类，令网络的输出为\([\hat{y}_1,\dots, \hat{y}_K]\)，对应每个类别的概率，令label为 \([y_1, \dots, y_K]\)。对某个属于\(p\)类的样本，其label中\(y_p=1\)，\(y_1, \dots, y_{p-1}, y_{p+1}, \dots, y_K\)均为0。

对这个样本，交叉熵（cross entropy）损失为
\[ \begin{aligned}L &= - (y_1 \log \hat{y}_1 + \dots + y_K \log \hat{y}_K) \\&= -y_p \log \hat{y}_p \\ &= - \log \hat{y}_p\end{aligned} \]
均方误差损失（mean squared error，MSE）为
\[ \begin{aligned}L &= (y_1 - \hat{y}_1)^2 + \dots + (y_K - \hat{y}_K)^2 \\&= (1 - \hat{y}_p)^2 + (\hat{y}_1^2 + \dots + \hat{y}_{p-1}^2 + \hat{y}_{p+1}^2 + \dots + \hat{y}_K^2)\end{aligned} \]
则\(m\)个样本的损失为
\[ \ell = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m L_i \]
对比交叉熵损失与均方误差损失，只看单个样本的损失即可，下面从两个角度进行分析。

损失函数角度

损失函数是网络学习的指挥棒，它引导着网络学习的方向——能让损失函数变小的参数就是好参数。

所以，损失函数的选择和设计要能表达你希望模型具有的性质与倾向。

对比交叉熵和均方误差损失，可以发现，两者均在\(\hat{y} = y = 1\)时取得最小值0，但在实践中\(\hat{y}_p\)只会趋近于1而不是恰好等于1，在\(\hat{y}_p < 1\)的情况下，

• 交叉熵只与label类别有关，\(\hat{y}_p\)越趋近于1越好
• 均方误差不仅与\(\hat{y}_p\)有关，还与其他项有关，它希望\(\hat{y}_1, \dots, \hat{y}_{p-1}, \hat{y}_{p+1}, \dots, \hat{y}_K\)越平均越好，即在\(\frac{1-\hat{y}_p}{K-1}\)时取得最小值

分类问题中，对于类别之间的相关性，我们缺乏先验。

虽然我们知道，与“狗”相比，“猫”和“老虎”之间的相似度更高，但是这种关系在样本标记之初是难以量化的，所以label都是one hot。

在这个前提下，均方误差损失可能会给出错误的指示，比如猫、老虎、狗的3分类问题，label为\([1, 0, 0]\)，在均方误差看来，预测为\([0.8, 0.1, 0.1]\)要比\([0.8, 0.15, 0.05]\)要好，即认为平均总比有倾向性要好，但这有悖我们的常识。

而对交叉熵损失，既然类别间复杂的相似度矩阵是难以量化的，索性只能关注样本所属的类别，只要\(\hat{y}_p\)越接近于1就好，这显示是更合理的。

softmax反向传播角度

softmax的作用是将\((-\infty, +\infty)\)的几个实数映射到\((0,1)\)之间且之和为1，以获得某种概率解释。

令softmax函数的输入为\(z\)，输出为\(\hat{y}\)，对结点\(p\)有，
\[ \hat{y}_p = \frac{e^{z_p}}{\sum_{k=1}^K e^{z_k}} \]
\(\hat{y}_p\)不仅与\(z_p\)有关，还与\(\{z_k | k\neq p\}\)有关，这里仅看$z_p $，则有
\[ \frac{\partial \hat{y}_p}{\partial z_p} = \hat{y}_p(1-\hat{y}_p) \]
\(\hat{y}_p\)为正确分类的概率，为0时表示分类完全错误，越接近于1表示越正确。根据链式法则，按理来讲，对与\(z_p\)相连的权重，损失函数的偏导会含有\(\hat{y}_p(1-\hat{y}_p)\)这一因子项，\(\hat{y}_p = 0\)时分类错误，但偏导为0，权重不会更新，这显然不对——分类越错误越需要对权重进行更新。

对交叉熵损失，
\[ \frac{\partial L}{\partial \hat{y}_p} = -\frac{1}{\hat{y}_p} \]
则有
\[ \frac{\partial L}{\partial \hat{z}_p} = \frac{\partial L}{\partial \hat{y}_p} \cdot \frac{\partial \hat{y}_p}{\partial z_p} = \hat{y}_p - 1 \]
恰好将\(\hat{y}_p(1-\hat{y}_p)\)中的\(\hat{y}_p\)消掉，避免了上述情形的发生，且\(\hat{y}_p\)越接近于1，偏导越接近于0，即分类越正确越不需要更新权重，这与我们的期望相符。

而对均方误差损失，
\[ \frac{\partial L}{\partial \hat{y}_p} = -2(1-\hat{y}_p)=2(\hat{y}_p - 1) \]
则有，
\[ \frac{\partial L}{\partial \hat{z}_p} = \frac{\partial L}{\partial \hat{y}_p} \cdot \frac{\partial \hat{y}_p}{\partial z_p} = -2 \hat{y}_p (1 - \hat{y}_p)^2 \]
显然，仍会发生上面所说的情况——\(\hat{y}_p = 0\)，分类错误，但不更新权重。

综上，对分类问题而言，无论从损失函数角度还是softmax反向传播角度，交叉熵都比均方误差要好。

参考

• Loss Functions
• Why You Should Use Cross-Entropy Error Instead Of Classification Error Or Mean Squared Error For Neural Network Classifier Training