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第3章 损失函数
3.0 损失函数概论
3.0.1 概念
在各种材料中经常看到的中英文词汇有：误差，偏差，Error，Cost，Loss，损失，代价......意思都差不多，在本书中，使用“损失函数”和“Loss Function”这两个词汇，具体的损失函数符号用J来表示，误差值用loss表示。
“损失”就是所有样本的“误差”的总和，亦即（m为样本数）：
\[损失 = \sum^m_{i=1}误差_i\]
\[J = \sum_{i=1}^m loss\]
在黑盒子的例子中，我们如果说“某个样本的损失”是不对的，只能说“某个样本的误差”，因为样本是一个一个计算的。如果我们把神经网络的参数调整到完全满足独立样本的输出误差为0，通常会令其它样本的误差变得更大，这样作为误差之和的损失函数值，就会变得更大。所以，我们通常会在根据某个样本的误差调整权重后，计算一下整体样本的损失函数值，来判定网络是不是已经训练到了可接受的状态。
损失函数的作用
损失函数的作用，就是计算神经网络每次迭代的前向计算结果与真实值的差距，从而指导下一步的训练向正确的方向进行。
如何使用损失函数呢？具体步骤：
- 用随机值初始化前向计算公式的参数；
- 代入样本，计算输出的预测值；
- 用损失函数计算预测值和标签值（真实值）的误差；
- 根据损失函数的导数，沿梯度最小方向将误差回传，修正前向计算公式中的各个权重值；
- goto 2, 直到损失函数值达到一个满意的值就停止迭代。
3.0.2 机器学习常用损失函数
符号规则：a是预测值，y是样本标签值，J是损失函数值。
Gold Standard Loss，又称0-1误差
\[ loss=\begin{cases} 0 & a=y \\ 1 & a \ne y \end{cases} \]绝对值损失函数
\[ loss = |y-a| \]
- Hinge Loss，铰链/折页损失函数或最大边界损失函数，主要用于SVM（支持向量机）中
\[ loss=max(0,1-y \cdot a), y=\pm 1 \]
- Log Loss，对数损失函数，又叫交叉熵损失函数(cross entropy error)
\[ loss = -\frac{1}{m} \sum_i^m y_i log(a_i) + (1-y_i)log(1-a_i) \qquad y_i \in \{0,1\} \]
Squared Loss，均方差损失函数
\[ loss=\frac{1}{2m} \sum_i^m (a_i-y_i)^2 \]Exponential Loss，指数损失函数
\[ loss = \frac{1}{m}\sum_i^m e^{-(y_i \cdot a_i)} \]
3.0.3 损失函数图像理解
用二维函数图像理解单变量对损失函数的影响
图3-1 单变量的损失函数图
图3-1中，纵坐标是损失函数值，横坐标是变量。不断地改变变量的值，会造成损失函数值的上升或下降。而梯度下降算法会让我们沿着损失函数值下降的方向前进。
- 假设我们的初始位置在A点，\(x=x0\)，损失函数值（纵坐标）较大，回传给网络做训练；
- 经过一次迭代后，我们移动到了B点，\(x=x1\)，损失函数值也相应减小，再次回传重新训练；
- 以此节奏不断向损失函数的最低点靠近，经历了\(x2、x3、x4、x5\)；
- 直到损失值达到可接受的程度，比如\(x5\)的位置，就停止训练。
用等高线图理解双变量对损失函数影响
图3-2 双变量的损失函数图
图3-2中，横坐标是一个变量\(w\)，纵坐标是另一个变量\(b\)。两个变量的组合形成的损失函数值，在图中对应处于等高线上的唯一的一个坐标点。\(w、b\)所有的不同的值的组合会形成一个损失函数值的矩阵，我们把矩阵中具有相同（相近）损失函数值的点连接起来，可以形成一个不规则椭圆，其圆心位置，是损失值为0的位置，也是我们要逼近的目标。
这个椭圆如同平面地图的等高线，来表示的一个洼地，中心位置比边缘位置要低，通过对损失函数值的计算，对损失函数的求导，会带领我们沿着等高线形成的梯子一步步下降，无限逼近中心点。
3.0.4 神经网络中常用的损失函数
均方差函数，主要用于回归
交叉熵函数，主要用于分类
二者都是非负函数，极值在底部，用梯度下降法可以求解。
