总结

\[ \sum_{i=1}^n{i}=\frac{n(n+1)}{2}\]
\[ \sum_{ i=1}^{n}{i^2 }= \frac{ n(n+1)(2n+1)}{6} \]
\[ \sum_{ i=1}^{n}{ i^3 }= \frac{ n^2(n+1)^2}{4} \]

请问\(1^x+2^x+3^x+\cdots +n^x\)的算式是什么呢？

一、求和式\(\sum\limits_{i=1}^n{i}\)的算式

\[1+2+3+4+5\cdots+ n=\sum_{i=1}^n{i}=\frac{n(n+1)}{2} \]

在这个表达式中：
\(1+2+3+4+5\cdots+ n\)：可称为原始需求表达式
\(\sum_{i=1}^n{i}\)：叫做简写表达式（简式），毕竟原始需求太长了谁也不愿意写呀。
$\frac{n(n+1)}{2} $：叫做算式，通过算式可以得到表达式最终值的解

如何证明求和简式\(\sum\limits_{i=1}^n{i}\)的算式就是$\frac{n(n+1)}{2} $呢？

证：
\[因：（n+1）^2= n^2+2n+1 \]
\[得 （n+1）^2-n^2=2n+1 \quad\cdots 式(n) \]
\[n^2-(n-1)^2=2(n-1)+1 \quad\cdots 式(n-1)\]
\[\cdots\cdots\]
\[3^2-2^2=2\times2+1 \quad\cdots 式(2)\]
\[2^2-1^2=2\times1+1 \quad\cdots 式(1)\]

把(n)式到(1)式的方程加起来有：
\[ （n+1）^2-1^2= 2（1+2+3+\cdots+n）+n =2\sum_{i=1}^n{i}+n\]
\[ n^2+2n+1-1= 2\sum_{i=1}^n{i}+n\]
\[ \sum_{i=1}^n{i}=\frac{n(n+1)}{2}\]

二、求和式\(\sum\limits_{i=1}^n{i^2}\)的算式

\[1^2+2^2+3^2+4^2+5^2\cdots+ n^2=\sum_{i=1}^n{i^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

如何证明求和简式\(\sum\limits_{i=1}^n{i^2}\)的算式就是$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $呢？

证：

\[ （n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1 \]
\[ n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1 \]
\[\cdots\cdots\]
\[ （3）^3-2^3=3\times2^2+3\times2+1 \]
\[ （2）^3-1^3=3\times1^2+3\times+1 \]
把(n)式到(1)式的方程加起来有：
\[(n+1)^3-1^3=3\times( 1+2^2+3^2+4^3+\cdots+n^2 )+3\times(1+2+3+4+\cdots+n)+n\]
\[=3\sum_{ i=1}^{n}{i^2 }+3\times \frac{n(n+1)}{2}+n\]
所以得：
\[ \sum_{ i=1}^{n}{i^2 }= \frac{ n(n+1)(2n+1)}{6} \]

三、求和式\(\sum\limits_{i=1}^n{i^3}\)的算式

\[1^3+2^3+3^3+4^3+5^3\cdots+ n^3=\sum_{i=1}^n{i^3}=\frac{n^2(n+1)^2}{4} \]

如何证明求和简式\(\sum\limits_{i=1}^n{i^3}\)的算式就是$\frac{n^2(n+1)^2}{4} $呢？

证：

\[ （n+1）^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1 \]
\[ （n）^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1）^2+4（n-1）+1 \]
\[\cdots\cdots\]
\[ 3^4-2^4=4\times2^3+6\times2^2+4\times2+1 \]
\[ 2^4-1^4=4\times1^3+6\times1^2+4\times1+1 \]
把(n)式到(1)式的方程加起来有：
\[(n+1)^4-1^4=4\times(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 )+6\times(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)+4\times(1+2+3+4+\cdots+n)+n\]
\[=4\times\sum_{i=1}^{n}{i^3}+6\times \frac{ n(n+1)(2n+1)}{6} +4\times \frac{n(n+1)}{2} +n \]

所以得：
\[ \sum_{ i=1}^{n}{ i^3 }= \frac{ n^2(n+1)^2}{4} \]