本文始发于个人公众号：TechFlow
今天的文章聊聊高等数学当中的极限，我们跳过极限定义以及一些常用极限计算的部分。我想对于一些比较常用的函数以及数列的极限，大家应该都非常熟悉。
大部分比较简单的函数或者数列，我们可以很直观地看出来它们的极限。比如\(\frac{1}{n}\)，当n趋向于无穷大的时候，\(\frac{1}{n}\)的极限是0，再比如当n趋向于无穷大的时候，\(n^2\)的极限也是无穷大，等等。但是对于一些相对比较复杂的函数，我们一时之间可能很难直观地看出极限，因此需要比较方便计算极限的方法，今天的文章介绍的正是这样的方法——夹逼法和换元法。
夹逼法
夹逼法在数学领域其实非常常用，在中学的竞赛当中经常出现。夹逼法的原理非常简单，对于某一个函数f(x)，我们知道它的表达式，但是很难确定它的范围。我们可以先找到另外两个范围比较容易确定的函数g(x)和h(x)，然后证明:\(g(x)\leq f(x) \leq h(x)\)。通过h(x)和g(x)的范围来夹逼f(x)的范围。
说白了，就是直接求解不方便的函数，我们通过用其他容易计算的函数来替代的方法来间接求解，类似于“曲线救国”。
明白了夹逼法的概念之后，我们再来看一下它在数列极限当中的应用。当下存在数列\(\{x_n\}\)我们需要确定它的极限，我们找到了另外两个数列\(\{y_n\}\)和\(\{z_n\}\)。如果它们满足以下两个条件：
- \(\exists n_0 \in N\)，当\(n > n_0\)时，有\(y_n \leq x_n \leq z_n\)。
- \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}y_n=a, \lim_{n \to +\infty}z_n=a\)
那么，数列\(\{x_n\}\)的极限存在，并且\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}x_n=a\)。从直觉上来看，上面的式子应该非常直观，但是我们还是试着从数学的角度来证明一下，顺便回顾一下极限的定义。
证明过程如下：
根据极限的定义，对于数列\(\{x_n\}\)而言，对于任意\(\epsilon\)都存在\(n_0 > 0\)，使得对于任意：\(n > n_0\)，都有\(|x_n - a| < \epsilon\)。那么就称数列\(\{x_n\}\)的极限是a。
由于数列\(\{y_n\}\)的极限是a，所以存在\(n_1\)使得\(n > n_1\)时，\(|y_n -a | < \epsilon\)。同理，存在\(n_2\)使得\(n > n_2\)时，\(|z_n -a | < \epsilon\)。那么对于\(n > max(n_1, n_2)\)显然应该有：\(|y_n - a| < \epsilon\)并且\(|z_n - a | < \epsilon\)。
我们将绝对值展开，可以得到：
\[ \begin{aligned} a - \epsilon &< y_n < a + \epsilon \\ a - \epsilon &< z_n < a + \epsilon \end{aligned} \]
我们代入\(y_n \leq x_n \leq z_n\)，可以得到：
\[ \begin{aligned} a - \epsilon < y_n \leq x_n \leq z_n< a + \epsilon \\ | x_n -a | < \epsilon \end{aligned} \]
根据极限的定义，显然可以得到数列\(\{x_n\}\)的极限也是a。
我们利用这个方法来看一个书上的例子，我们都知道当x趋向于0的时候，\(x\)和\(\sin x\)都趋向于0，但是\(\frac{\sin x}{x}\)的极限是多少呢？如果猜测一下，两个无穷趋向于0的极限的比值应该是1才对，但是这个只是我们的直观猜测，想要严格证明，还需要使用数学方法。
这个证明就用到了我们刚才说的夹逼法，并且非常巧妙，让我们来看一张下面这张图。
我们假设夹角\(\angle AOB=x\)，这里采用弧度制。我们令圆心OB的长度等于1，那么\(BC=\sin x\)，\(OC=\cos x\)，\(AD=\tan x\)。我们下面要用这张图里的几何图形的面积关系，显然：
\(\triangle AOB\)的面积 < 扇形AOB的面积 < \(\triangle AOD\)的面积。
\(\triangle AOB\)的面积等于\(\frac{1}{2}*OA*BC=\frac{1}{2}\sin x\)，\(\triangle AOD\)的面积等于\(\frac{1}{2}*OA*AD=\frac{1}{2}\tan x\)。这两个都很容易得出，直接套用三角形面积公式即可。扇形的面积看起来麻烦一些，但其实也很简单，在几何当中，扇形可以看成是特殊的三角形。我们把弧长看成是底面，半径可以看成是高，那么扇形的面积等于\(\frac{1}{2}*弧长*半径\)。所以扇形AOB的面积等于\(\frac{1}{2}*x*1=\frac{1}{2}x\)。
我们列出来，可以得到：
\[\frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan x\]
即：
\[\sin x < x < \tan x\]
其中\(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\)，所以我们可以不等号两边同时除以\(\sin x\)，得到：
\[1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}\]
由于当x趋向于0的时候\(\sin x, \cos x\)都大于0，所以我们可以对不等式互换分子分母，得到：
\[\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1\]
到这里已经结束了，因为我们根据余弦的函数图像可以很容易看出来，当x趋向于0的时候，cosx趋向于1.但为了严谨起见，我们当做不知道这点，继续用数学的方法证明：
我们来计算当x趋向于0的时候，\(1 - \cos x\)的取值范围，当x趋向于0的时候\(\cos x < 1\)，所以\(1 - \cos x > 0\)。我们再对\(1 - \cos x\)变形，这里要引入三角函数当中的和差化积公式：
\[\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin \frac{\alpha + \beta}{2}\sin \frac{\alpha - \beta}{2}\]
由于\(\cos 0 = 1\)，带入和差化积可以得到：
\[\cos 0 - \cos x = -2 \sin \frac{x}{2}\sin -\frac{x}{2}=2\sin ^2 \frac{x}{2}\]
我们之前通过面积表示的方法已经证明了当x趋向于0的时候\(\sin x < x\)，所以\(2\sin ^2 \frac{x}{2} < 2 * (\frac{x}{2})^2=\frac{x^2}{2}\)。当x趋向于0的时候，显然\(x^2\)也趋向于0，所以我们可以证明\(\cos x\)的极限是1.
换元法
我们接着来看换元法，学名是复合函数的极限运算法则。定义如下：假设我们有\(y = f[g(x)]\)，我们令\(u = g(x)\)。如果\(\displaystyle\lim_{x \to x_0}g(x)=u_0, \lim_{u \to u_0}f(u)=A\)，并且在x趋向于\(x_0\)时，有\(g(x) \neq u_0\)，那么：
\[\displaystyle\lim_{x \to x_0}f[g(x)]=\lim_{u \to u_0}g(u)=A\]
我们使用极限的定义同样可以很方便地证明它的正确性，这里就不证明了，感兴趣的同学可以试着证明一下。
了解了符合函数的极限运算法则之后，我们再来看一个例子巩固一下。
和上面的例子类似，我们这次求一下:\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\)。
和上面那题一样，我们先使用和差化积对极限的分子进行变换，可以得到：
\[\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}=\frac{1}{2}\lim_{x \to 0}\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{(\frac{x}{2})^2}\]
如果通过极限本身的定义来计算这个式子还是蛮复杂的，很难直观地获得答案。这个时候就需要用上换元法了，我们令\(u = \frac{x}{2}\)，那么这个极限就可以转化成复合函数极限了。\(u=\frac{x}{2}, f(u)=\frac{\sin u}{u}\)。因为当x趋向于0的时候，u也趋向于0，当u趋向于0的时候，\(f(u)\)趋向于1，所以最终的极限就是1.
通过夹逼法和复合函数的极限替换公式，我们可以很方便地求解一些看起来比较棘手的极限。这也是我们求极限的过程当中使用非常频繁的方法。虽然上文当中的公式看起来有些比较麻烦，但是方法本身并不难，只要沉下心来，一定可以看明白的。
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参考资料
同济大学《高等数学》第六版
程序员的数学
