CRC全称循环冗余校验(Cyclic Redundancy Check， CRC)，是通信领域数据传输技术中常用的检错方法，用于保证数据传输的可靠性。网上有关这方面的博客和资料很多，本文尽量简洁的梳理一下它的原理。后面还会结合自己的实践经验(不多)，说一说如何使用verilog语言在FPGA中做CRC校验。感兴趣的朋友可以关注我后续的更新，一起交流学习！
CRC校验的基本思路是数据发送方发送数据之前，先生成一个CRC校验码，这个校验码可以是单bit也可以是多bit，并附在有效数据末尾，以串行方式发送到接收方。接收方接收到数据后，进行CRC校验，根据校验结果就可以知道数据是否有误。
CRC校验码的生成：将有效数据扩展后作为被除数，使用一个指定的多项式作为除数，进行模二除法，得到的余数就是校验码。
数据接收方的CRC校验：将接受的数据(有效数据+CRC校验码)扩展后作为被除数，用上述指定的多项式作为除数，进行模二除法，得到余数为0，则表示校验正确。
需要注意的是，CRC校验中的被校验数据在进行扩展之前，尽量以字节(8bit)为单位，如果数据不够一个完整的字节，可以高位补0。这一点在后面verilog实现时很关键。
多项式的选择会影响检查错误的可靠性，检测错误的概率和多项式之间存在一定的数学关系，涉及到一些算法原理，这里不去深究，感兴趣的朋友可以查阅通信原理和线性编码相关书籍。
多项式的表达式：G(x)=x^n+x^(n-1)…+1，其中n>=1。
该表达式可以用2进制数表示，以便软件编程。例如多项式G(x)=x^5+x^3+x^2+1，用2进制表示就是101101；多项式G(x)=x^6+x^5+x^1+1，用2进制表示就是1100011。很容易看出规律吧。
有些资料里将多项式最高位的1省略，不过这里建议手动计算时保留这一位，免得出错。
通信上有一些常用的多项式，如下表示所示。这是前人总结好的，广泛使用的，可根据通信方式选择，例如CRC-5/USB算法对应的是用于USB通信的CRC多项式。
求余目的是得到CRC校验码。首先将有效数据扩展n位作为被除数，n是多项式的最高次幂，例如前面的多项式101101最高次幂是5(比2进制位数少1)，则有效数据扩展5位。然后用多项式的2进制数用模2除法去除被除数，得到的余数是CRC校验码。
先搞明白模2除法运算机制。
模2除法可以借助逻辑上的异或运算和移位实现，例如被除数是2进制的10001111，除数是1010，则模2除法求余数的计算过程如下图所示，得到商是101，余数是111。可以看出，每次计算，除数最高位的“1”都要和被除数最高位的“1”对齐，然后进行异或运算。得到的余数位数不小于除数，则移位后再次对齐、计算，直到余数位数(从最高位的1开始算)小于除数位数。
再看CRC校验码的计算过程。
假如发送的有效数据是10101010(注意是2进制)，我们把它作为被除数。这里选择CRC-5/USB校验算法，多项式是x^5+x^2+1，对应2进制形式是100101。
首先对有效数据扩展5bit，也就是在后面添5个0，得到被除数1010101000000。然后进行模2除法，最终得到5bit(比多项式少1bit)余数11000，这就是CRC校验码。
把上面得到的校验码附在有效数据后面，构成数据1010101011000，然后发送给接收方。
数据接收方对数据(包含校验码)求余数，计算过程与上述完全相同。最终得到的余数为0，才能说明数据传输无误。
假如接收的数据无误，这里写出来接收方的计算过程：
最终得到余数为0，证明数据无误。
关于CRC校验码的计算，用上面比较繁琐的手算方式有助于了解计算过程，实际上现在有很多CRC计算工具，在线的和离线的都有。例如参考链接1的在线计算工具，可以用来验证自己手算或者自己写的校验代码结果是否正确。
这里用一个2byte数据做一次完整CRC校验，其中校验码的计算分别用手算和在线工具计算进行对比。
1）假设要发送的数据是0x8421，对应2进制为1000 0100 0010 0001；校验算法使用CRC-8，对应多项式是100000111。
2）手动计算求校验码：有效数据扩展后为1000 0100 0010 0001 0000 0000，计算得CRC校验码为00000101，16进制为0x05。（算到眼疼~）
3）在线工具计算校验码：0x05，结果一致，说明手算无误。
4）发送数据后面附上校验码：1000 0100 0010 0001 0000 0101，即0x842105。
4）手动计算求接收方校验结果：0x00。
5）在线工具计算求接收方校验结果：0x00，接收无误。
参考链接：
1、http://www.ip33.com/crc.html
2、https://www.cnblogs.com/liushui-sky/p/9962123.html
