差分约束

背景

考虑一个有\(n\)个不等式的不等式组
\[ \cases{x_1 - x_1' \leqslant y_1 \\x_2 - x_2' \leqslant y_2 \\\vdots \\x_n - x_n' \leqslant y_n \\} \]
问该不等式组是否有整数解，如果有给出一组整数解

思想

主体

考虑在有向图\(G\)中，如果存在从\(u\)出发到\(v\)的边\((u,v)\)，那么\(dis[v] \leqslant dis[u] + weight\ of\ (u,v)\)，其中\(dis[i]\)表示为从源点\(s\)(一般取0，不理解的话别着急，下面细节部分具体讲，也可以看板子理解一下)到点\(i\)的最短距离。那么我们可以把上面的不等式组转化为一张有向图\(G\)，不难看出以源点\(s\)为起始点，跑一遍后最短路，最后得到的\(dis[]\)数组是一组解。那什么情况会没有整数解呢？我们考虑由不等式转化得到的有向图\(G\)，如果有向图\(G\)压根没有环，那肯定是有解的；如果有向图\(G\)有环，且所有环为非负环，那也有整数解解；如果有向图\(G\)存在负环，那必然无解，因为存在负环时\(dis\)可以跑到\(-\infty\)。简单画了个图直观理解一下\(\downarrow\)

细节

主要思想就是建图跑spfa(不知道spfa可以去百度一下)找负环，如果没负环就输出\(dis[]\)数组；如果有负环就无解。说是这么说，代码的具体实现实际上还有讲究：

• 关于源点：为啥整这个玩意儿？我们建的图是有向图，并不是所有点都能当起点的，况且建起来的图很可能是不连通的，为了减少麻烦，使得一遍spfa就能跑完所有的点，我们加入一个源点(有些博主称它为超级源点)，并在源点和所有其它点之间加一条权重为0，有源点出发指向其它点的有向边。因为很多题的点编号范围是\([1,n]\)，所有源点一般取0
• 关于如何找负环：因为一个点，最多被除自己以外的所有点松弛一次，所以如果一个点被松弛的次数\(\geqslant n\)，就说明有负环

板子

说是板子，其实就是洛谷p5960的板子题

#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
const int N = 5e3 + 5;
const int INF = 0x7fffffff;

int n, m, s;
int dis[N], num[N];
bool exist[N];

struct Edge {
    int v, w;
    Edge() {}
    Edge(int _v, int _w) : v(_v), w(_w) {}
};

std::vector<Edge > g[N];

inline void init() {
    s = 0; // 源点
    for(int i = 0; i <= n; i++) {
        g[i].clear();
        dis[i] = INF;
        exist[i] = false;
    }
    dis[s] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        g[s].push_back(Edge(i, 0));
}

std::queue<int >q;
bool spfa() {
    while(!q.empty()) q.pop();
    q.push(s); exist[s] = true;
    while(!q.empty()) {
        int u = q.front(); q.pop(); exist[u] = false;
        for(int i = 0; i < g[u].size(); i++) {
            int v = g[u][i].v;
            if(dis[v] > dis[u] + g[u][i].w) {
                dis[v] = dis[u] + g[u][i].w;
                if(++num[v] >= n)
                    return true;
                if(!exist[v]) {
                    q.push(v);
                    exist[v] = true;
                }
            }
        }
    }
    return false;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    init();
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        g[v].push_back(Edge(u, w));
    }
    if(spfa()) puts("NO"); // 无解
    else
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            printf("%d ", dis[i]);
    return 0;
}

不是\(\geq\)的情况

如果约束是\(x_i-x_i' \geq y_i\)的形式，有两种解决办法：

• 不等式两边取负
• 把它看作是最长路建图，跑最长路即可

例题

• 洛谷 P5960 板子题

• 洛谷 P3275(SCOI2011)糖果

  题解有点长，大家可以直接看洛谷上的题解，第一篇讲得很好传送门