介绍一种二维线性插值计算方法

插值计算方法是工程实践中经常用到的方法。当获取的原始数据为离散点状数据时，就需要通过插值计算方法来获取离散点之间的数据。常用的插值计算方法有线性插值、样条插值等，但是这些插值方法通常是一维插值方法，即y=f(x)的情况，对于二维数据即z=f(x,y)的情况应用起来存在一些困难。

首先来简单介绍一下最简单的一维插值计算方法。原始数据为一系列的散点，即（x₁,y₁）、（x₂,y₂）....（x_i,y_i），对于任意的x，求取其对应的y值。其计算过程为，首先求取x值位于哪两个三点之间，假如x_j≤x<x_j+1，则y=(x-x_j)×(y_j+1-y_j)/(x_j+1-x_j)+y_j。该方法可以较准确地求取任意x值对应的y值，且该方法一般只应用于内插，当x值超出原始散点x范围时，采用线性外插方法。

而对于二维插值却存在一定问题。原始数据为一系列的散点（x₁,y₁,z₁）、（x₂,y₂,z₂）....（x_i,y_i,z_i），此时对于任意的（x，y）值，要想求取其对应的z值。

通常容易想到的方法是，首先基于已知的散点数据（x₁,y₁,z₁）、（x₂,y₂,z₂）....（x_i,y_i,z_i），通过某种拟合方法获得一个适用的计算公式，即z=f（x，y），然后通过该公式来计算任意的（x，y）对应的z值。该方法能够一定程度上解决无法获取散点之外数据的问题。但是，该方法拟合过程引入的偏差是不可忽略的，一种检验的方法是，选取原始散点中的某一个点的数据（x_j,y_j,z_j）进行检验，将该点的数据代入计算公式z=f（x，y）获得一个值z_计算=f（x_j,y_j），对比可以发现z_计算≠z_j，且进一步计算其相对偏差量可以发现，相对偏差量（z_计算 -  z_j）/z_j不是一个小量，某些时候甚至能够达到30%，因此该方法很难实现有效的工程应用。

本文推荐一种二维线性插值计算方法，可以有效避免原始数据代入计算结果不一致的问题。该方法适用的一个前提是，原始散点数据需满足一定特征，即某些原始散点的x值需相等，且可以基于x值将原始散点进行分组。即原始散点具备如下特征，可进行如下分组分类：

 对于该类型的原始散点，求取对应于（x未知,y未知）值时的Z未知值，其计算过程如下

1）首先计算x值位于哪个区间，通过逐个比较获得xj≤x<xj+1；

2）对于x_j所在的数组，获得其对应原始散点的y、z值组成二维散点（y_jm-m+1,z_jm-m+1）、（y_jm-m+2,z_jm-m+2）...（y_jm,z_jm），在该二维散点中，通过一维线性插值计算获得当y=y_未知时，对应的z值为_zxj，未知

3）同理，对于x_j+1所在的数组，获得其对应原始散点的y、z值组成二维散点（y_jm+1,z_jm+1）、（y_jm+2,z_jm+2）...（y_jm+m,z_jm+m），在该二维散点中，通过一维线性插值计算获得当y=y_未知时，对应的z值为z_{xj+1，未知}

4)通过步骤(2)、(3)获得的两个点（xj，y_未知，zx_j，未知）、（x_j+1，y_未知，z_{xj+1，未知}），与所求点（x_未知，y_未知，z_未知），三个点必定在同一条直线上，因此可以基于（x_j，y_未知，z_xj，未知）、（x_j+1，y_未知，z_{xj+1，未知}）两点，通过一维线性插值计算获得点（x_未知，y_未知，z_未知）的值。

以上为所述二维线性插值计算方法的全过程。