## 1 IMU真实状态运动模型
**状态向量：**
$x_{I}=\left[{{_{G}^{I}{q(t)}}^{T},{b_{g}(t)}^{T},{^{G}v_{I}(t)}^{T},{b_{a}(t)}^{T},{^{G}p_{I}(t)}^{T}},{{_{C}^{I}q(t)}^{T}},{{^{I}p(t)_{C}}^{T}}\right]^{T}$
四元数${_{G}^{I}{q(t)}}$代表惯性系到IMU坐标系的旋转，${^{G}v_{I}(t)}$和${^{G}p_{I}(t)}$代表IMU坐标系在惯性系中的速度和位置，${b_{g}(t)}$和${b_{a}(t)}$表示在IMU坐标系中测量值角速度与线加速度的biases，${_{C}^{I}q(t)}$和${^{I}p(t)_{C}}$表示相机坐标系和IMU坐标系的相对位置，其中相机坐标系取左相机坐标系。
**数量关系：**
$_{G}^{I}{\dot q(t)}=\frac{1}{2}\Omega(w(t))_{G}^{I}q(t)$
$\dot b_{g}(t)=n_{wg}(t)$
$^{G}\dot v_{I}(t)={^{G}a_{I}(t)}$
$\dot b_{a}(t)=n_{wa}(t)$
$^{G}\dot p_{I}(t)={^{G}v_{I}(t)}$
${_{C}^{I}{\dot q(t)}}=0_{4\times1}$
${^{I}{\dot p}(t)_{C}}=0_{3\times1}$
以上$w(t)=[w_{x}(t),w_{y}(t),w_{z}(t)]^{T}$是IMU角速度在IMU系中的坐标。
**IMU的观测值为：**
$w_{m}=w+C(_{G}^{I}q)w_{G}+b_{g}+n_{g}$
$a_{m}=C(_{G}^{I}q)\left(^{G}a_{I}-{^{G}g}+2[w_{G}\times]{^{G}v_{I}}+{[w_{G}\times]}^{2}{(^{G}p_{I})}\right)+b_{a}+n_{a}$
其中$w_{G}$为地球的自转速度在G系的坐标，在某些VIO实现中，会将地球自转的影响忽略不计，比如S-MSCKF，以后的推导中也会不计地球自转影响。
**将地球自转忽略：**
$w_{m}=w+b_{g}+n_{g}$
$a_{m}=C(_{G}^{I}q)\left(^{G}a_{I}-{^{G}g}\right)+b_{a}+n_{a}$
## 2 IMU估计状态运动模型
**状态向量：**
$\hat x_{I} =\left[{{_{G}^{I}{\hat q}}^{T},{\hat b_{g}}^{T},{^{G}\hat v_{I}}^{T},{\hat b_{a}}^{T},{^{G}\hat p_{I}}^{T}},{_{C}^{I}\hat q}^{T},{^{I}{\hat p}_{C}}^{T}\right]^{T}$
**数量关系：**
$_{G}^{I}{\dot{\hat q}}=\frac{1}{2}\Omega(\hat w)_{G}^{I}\hat q$
$\dot {\hat b}_{g}(t)=0_{3\times1}$
$^{G}\dot {\hat v}_{I}=C(_{G}^{I}\hat q)^{T}{\hat a}+{^{G}g}$
$\dot {\hat b}_{a}=0_{3\times1}$
$^{G}\dot {\hat p}_{I}={^{G}{\hat v}_{I}}$
${_{C}^{I}\hat q}=0_{4\times1}$
${^{I}{\hat p}_{C}}^{T}=0_{3\times1}$
其中：
$\hat w = w_{m}-{\hat b}_{g}$
$\hat a= a_{m}-{\hat b}_{a}$
$\Omega(\hat w)=
\left(\begin{matrix}
-[\hat w_{\times}] & {\hat w} \\
-{\hat w}^{T} & 0
\end{matrix}\right)$
## 3 IMU误差状态运动模型
**定义IMU误差状态：**
将上述真实状态与估计状态做“差”：
$\tilde x = x-{\hat x}$
其中四元数做差和普通的减法不一样，这里引入了误差四元数$\delta q$来表示旋转误差：
$q={\delta q} \bigotimes {\hat q}$
${\delta q}\simeq [\frac{1}{2}{\delta\theta}^{T},1]^{T}$
所以可以用三维向量$\delta\theta$来表示旋转误差，从而定义IMU误差状态向量为：
$\tilde x_{I} =\left[{{_{G}^{I}{\tilde\theta}^{T}},{\tilde b_{g}}^{T},{^{G}\tilde v_{I}}^{T},{\tilde b_{a}}^{T},{^{G}\tilde p_{I}}^{T}},{_{C}^{I}{\tilde\theta}^{T}},{^{I}{\tilde p}_{C}}^{T}\right]^{T}$
**连续误差状态运动方程：**
${\dot {\tilde x}}_{I}=F{\tilde x_{I}}+G{n}_{I}$
其中$n_{I}^{T}=\left({n_{g}^{T}},{n_{wg}^{T}},{n_{a}^{T}},{n_{wa}^{T}}\right)^{T}$。向量$n_{g}$和$n_{a}$代表陀螺仪与加速度计的测量噪声(高斯)，$n_{wg}$和$n_{wa}$是陀螺仪与加速度计biases的随机游走速率。
## 4 推导F与G
### 4.1 求$\delta\theta$
对$_{G}^{I}q=\delta q \bigotimes{_{I}^{G}\hat q}$左右两边同时求导得到：
$_{G}^{I}\dot q=\dot {\delta q} \bigotimes {_{G}^{I}\hat q} + \delta q \bigotimes {_{G}^{I}\dot {\hat q}}$
$\frac{1}{2}\left[\begin{matrix}
w \\
0
\end{matrix}\right] \bigotimes {_{G}^{I}q}=
\dot {\delta q} \bigotimes {_{G}^{I}{\hat q}}+
\delta q \bigotimes \frac{1}{2}\left[\begin{matrix}
{\hat w} \\
0
\end{matrix}\right] \bigotimes {_{G}^{I}{\hat q}}$
两边同时乘以${_{G}^{I}{\hat q}}^{-1}$得到：
$\frac{1}{2}\left[\begin{matrix}
w \\
0
\end{matrix}\right] \bigotimes {\delta q}=
\dot {\delta q}+
\frac{1}{2}\delta q \bigotimes \left[\begin{matrix}
{\hat w} \\
0
\end{matrix}\right]$
整理得：
$\left[\begin{matrix}
{\dot {\delta\theta}} \\
{\dot {2}}
\end{matrix}\right]=
\left[\begin{matrix}
w \\
0
\end{matrix}\right] \bigotimes \delta q-
\delta q \bigotimes\left[\begin{matrix}
{\hat w} \\
0
\end{matrix}\right]$
由$w_{m}=w+b_{g}+n_{g}$和$\hat w =w_{m}-{\hat b}_{g}$可以求出$w$：
$w=\hat w + {\hat b}_{g}-b_{g}-n_{g}=\hat w - {\tilde b}_{g}-n_{g}$
带入$w$得到：
$\left[\begin{matrix}
{\dot {\delta\theta}} \\
{0}
\end{matrix}\right]=
\left[\begin{matrix}
{\hat w - {\tilde b}_{g}-n_{g}} \\
0
\end{matrix}\right] \bigotimes \delta q-
\delta q \bigotimes\left[\begin{matrix}
{\hat w} \\
0
\end{matrix}\right]$
$\left[\begin{matrix}
{\dot {\delta\theta}} \\
{0}
\end{matrix}\right]=
\left[\begin{matrix}
{\hat w} \\
0
\end{matrix}\right] \bigotimes \delta q-
\delta q \bigotimes\left[\begin{matrix}
{\hat w} \\
0
\end{matrix}\right]-
\left[\begin{matrix}
{{\tilde b}_{g}+n_{g}} \\
0
\end{matrix}\right] \bigotimes \delta q$
利用四元数乘法的性质得到：
$\left[\begin{matrix}
{\dot {\delta\theta}} \\
{0}
\end{matrix}\right]=
\left[\begin{matrix}
-[{\hat w}_{\times}] & {\hat w} \\
-{\hat w}^{T} & 0
\end{matrix}\right] \delta q-
\left[\begin{matrix}
[{\hat w}_{\times}] & {\hat w} \\
-{\hat w}^{T} & 0
\end{matrix}\right]\delta q-
\left[\begin{matrix}
-[{(\tilde b_{g}+n_{g})}_{\times}] & {(\tilde b_{g}+n_{g})} \\
-{(\tilde b_{g}+n_{g})}^{T} & 0
\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}
{\frac{1}{2}\delta\theta} \\
{1}
\end{matrix}\right]$
忽略掉极小量相乘的项得：
$\left[\begin{matrix}
{\dot {\delta\theta}} \\
{0}
\end{matrix}\right]=
\left[\begin{matrix}
-2[{\hat w}_{\times}] & 0 \\
0 & 0
\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}
{\frac{1}{2}\delta\theta} \\
{1}
\end{matrix}\right]-
\left[\begin{matrix}
{\tilde b_{g}+n_{g}} \\
{0}
\end{matrix}\right]$
${\dot {\delta\theta}}=-[{\hat w}_{\times}]\delta\theta -\tilde b_{g} -n_{g}$
### 4.2 求$\dot{\tilde b}_{g}$
$\dot{\tilde b}_{g}=\dot b_{g}-\dot{\hat b}_{g}=n_{wg}$
### 4.3 求$^{G}\dot {\tilde v}_{I}$
$^{G}\dot {\tilde v}_{I}={^{G}\dot v_{I}-^{G}\dot {\hat v}_{I}}$
$^{G}\dot v_{I}={^{G}a_{I}}={C(_{G}^{I}q)}^{T}\left(a_{m}-b_{a}-n_{a}\right)+{^{G}g}$
$^{G}\dot {\hat v}_{I}=C(_{G}^{I}\hat q)^{T}{\hat a}+{^{G}g}$
$^{G}\dot {\tilde v}_{I}={C(_{G}^{I}q)}^{T}\left(a_{m}-b_{a}-n_{a}\right)+{^{G}g}-C(_{G}^{I}\hat q)^{T}{\hat a}-{^{G}g}$
$={C(_{G}^{I}{\hat q})}^{T}\left(I+[\delta\theta_{\times}]\right)\left(a_{m}-b_{a}-n_{a}\right)-C(_{G}^{I}\hat q)^{T}{\hat a}$
由$\hat a=a_{m}-\hat b_{a}$得：
$={C(_{G}^{I}{\hat q})}^{T}\left(I+[\delta\theta_{\times}]\right)\left(\hat a-\tilde b_{a}-n_{a}\right)-C(_{G}^{I}\hat q)^{T}{\hat a}$
省略掉高次项$[\delta\theta_{\times}]\left(-\tilde b_{a}-n_{a}\right)$得到：
$={C(_{G}^{I}{\hat q})}^{T}\left([\delta\theta_{\times}]\hat a -\tilde b_{a}-n_{a}\right)$
$=-{C(_{G}^{I}{\hat q})}^{T}[\hat a_{\times}]\delta\theta-{C(_{G}^{I}{\hat q})}^{T}\tilde b_{a}-{C(_{G}^{I}{\hat q})}^{T}n_{a}$
### 4.4 求$\dot {\tilde b}_{a}$
$\dot {\tilde b}_{a}=\dot b_{a}-\dot {\hat b}_{a}=n_{wa}$
### 4.5 求$^{G}\dot {\tilde p}_{I}$
$^{G}\dot {\tilde p}_{I}={^{G}p_{I}}-{^{G}\dot {\hat p}_{I}}$
$={^{G}v_{I}}-{^{G}{\hat v}_{I}}={^{G}{\tilde v}_{I}}$
### 4.6求$_{C}^{I}\tilde \theta$和$^{I} \tilde p_{C}$
$_{C}^{I}\tilde \theta$和$^{I} \tilde p_{C}$是相机与IMU的相对位置，所以有：
$_{C}^{I}\tilde \theta=0_{3\times 1}$
$^{I} \tilde p_{C}=0_{3\times 1}$
### 4.7 写成矩阵形式
$$\dot {\tilde x}_{I}=\left[\begin{matrix}
-[\hat w_{\times}] & -I_{3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3}\\
0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} \\
-C\left({_{G}^{I}\hat q}\right)^{T}[\hat a_{\times}] & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & -C\left(^{I}_{G}\hat q\right)^{T} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} \\ 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} \\
0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & I_{3\times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} \\
0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} \\
0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3}
\end{matrix}\right]{\tilde x_{I}}+
\left[\begin{matrix}
-I_{3\times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} \\
0_{3 \times 3} & I_{3\times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} \\
0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & -C\left(^{I}_{G}\hat q\right)^{T} & 0_{3 \times 3} \\
0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} \\
0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & I_{3\times 3} \\
0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} \\
0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3} & 0_{3 \times 3}
\end{matrix}\right]{n_{I}}$$
## 参考资料
(1) A Multi-State Constraint Kalman Filter for Vision-aided Inertial Navigation
(2) Robust Stereo Visual Inertial Odometry for Fast Autonomous Flight
(3) Indirect Kalman Filter for 3D Attitude Estimation
