K最近邻属于一种分类算法，他的解释最容易，近朱者赤，近墨者黑，我们想看一个人是什么样的，看他的朋友是什么样的就可以了。当然其他还牵着到，看哪方面和朋友比较接近（对象特征），怎样才算是跟朋友亲近，一起吃饭还是一起逛街算是亲近（距离函数），根据朋友的优秀不优秀如何评判目标任务优秀不优秀（分类算法），是否不同优秀程度的朋友和不同的接近程度要考虑一下（距离权重），看几个朋友合适（k值），能否以分数的形式表示优秀度（概率分布）。
K最近邻概念：
它的工作原理是：存在一个样本数据集合，也称作为训练样本集，并且样本集中每个数据都存在标签，即我们知道样本集中每一个数据与所属分类的对应关系。输入没有标签的新数据后，将新的数据的每个特征与样本集中数据对应的特征进行比较，然后算法提取样本最相似数据(最近邻)的分类标签。一般来说，我们只选择样本数据集中前k个最相似的数据，这就是k-近邻算法中k的出处，通常k是不大于20的整数。最后，选择k个最相似数据中出现次数最多的分类，作为新数据的分类。
今天我们使用k最近邻算法来构建白酒的价格模型。
构造数据集
构建一个葡萄酒样本数据集。白酒的价格跟等级、年代有很大的关系。
from random import random,randint
import math
# 根据等级和年代对价格进行模拟
def wineprice(rating,age):
peak_age=rating-50
# 根据等级计算价格
price=rating/2
if age>peak_age:
# 经过“峰值年”，后续5年里其品质将会变差
price=price*(5-(age-peak_age)/2)
else:
# 价格在接近“峰值年”时会增加到原值的5倍
price=price*(5*((age+1)/peak_age))
if price<0: price=0
return price
# 生成一批模式数据代表样本数据集
def wineset1():
rows=[]
for i in range(300):
# 随机生成年代和等级
rating=random()*50+50
age=random()*50
# 得到一个参考价格
price=wineprice(rating,age)
# 添加一些噪音
price*=(random()*0.2+0.9)
# 加入数据集
rows.append({'input':(rating,age),'result':price})
return rows
数据间的距离
使用k最近邻，首先要知道那些最近邻，也就要求知道数据间的距离。我们使用欧几里得距离作为数据间的距离。
# 使用欧几里得距离，定义距离 def euclidean(v1,v2): d=0.0 for i in range(len(v1)): d+=(v1[i]-v2[i])**2 return math.sqrt(d)
获取与新数据距离最近的k个样本数据
# 计算给预测商品和原数据集中任一其他商品间的距离。data原数据集，vec1预测商品 def getdistances(data,vec1): distancelist=[] # 遍历数据集中的每一项 for i in range(len(data)): vec2=data[i]['input'] # 添加距离到距离列表 distancelist.append((euclidean(vec1,vec2),i)) # 距离排序 distancelist.sort() return distancelist #返回距离列表
根据距离最近的k个样本数据预测新数据的属性
1、简单求均值
# 对距离值最小的前k个结果求平均 def knnestimate(data,vec1,k=5): # 得到经过排序的距离值 dlist=getdistances(data,vec1) avg=0.0 # 对前k项结果求平均 for i in range(k): idx=dlist[i][1] avg+=data[idx]['result'] avg=avg/k return avg
2、求加权平均
如果使用直接求均值，有可能存在前k个最近邻中，可能会存在距离很远的数据，但是他仍然属于最近的前K个数据。当存在这种情况时，对前k个样本数据直接求均值会有偏差，所以使用加权平均，为较远的节点赋予较小的权值，对较近的节点赋予较大的权值。
那么具体该怎么根据数据间距离分配权值呢？这里使用三种递减函数作为权值分配方法。
2.1、使用反函数为近邻分配权重。
def inverseweight(dist,num=1.0,const=0.1): return num/(dist+const)
2.2、使用减法函数为近邻分配权重。当最近距离都大于const时不可用。
def subtractweight(dist,const=1.0): if dist>const: return 0 else: return const-dist
2.3、使用高斯函数为距离分配权重。
def gaussian(dist,sigma=5.0): return math.e**(-dist**2/(2*sigma**2))
有了权值分配方法，下面就可以计算加权平均了。
# 对距离值最小的前k个结果求加权平均 def weightedknn(data,vec1,k=5,weightf=gaussian): # 得到距离值 dlist=getdistances(data,vec1) avg=0.0 totalweight=0.0 # 得到加权平均 for i in range(k): dist=dlist[i][0] idx=dlist[i][1] weight=weightf(dist) avg+=weight*data[idx]['result'] totalweight+=weight if totalweight==0: return 0 avg=avg/totalweight return avg
第一次测试
上面完成了使用k最近邻进行新数据预测的功能，下面我们进行测试。
if __name__=='__main__': #只有在执行当前模块时才会运行此函数 data = wineset1() #创建第一批数据集 result=knnestimate(data,(95.0,3.0)) #根据最近邻直接求平均进行预测 print(result) result=weightedknn(data,(95.0,3.0),weightf=inverseweight) #使用反函数做权值分配方法，进行加权平均 print(result) result = weightedknn(data, (95.0, 3.0), weightf=subtractweight) # 使用减法函数做权值分配方法，进行加权平均 print(result) result = weightedknn(data, (95.0, 3.0), weightf=gaussian) # 使用高斯函数做权值分配方法，进行加权平均 print(result)
交叉验证
交叉验证是用来验证你的算法或算法参数的好坏，比如上面的加权分配算法我们有三种方式，究竟哪个更好呢？我们可以使用交叉验证进行查看。
随机选择样本数据集中95%作为训练集，5%作为新数据，对新数据进行预测并与已知结果进行比较，查看算法效果。
要实现交叉验证，要实现将样本数据集划分为训练集和新数据两个子集的功能。
# 划分数据。test测试数据集占的比例。其他数据集为训练数据 def dividedata(data,test=0.05): trainset=[] testset=[] for row in data: if random()<test: testset.append(row) else: trainset.append(row) return trainset,testset
还要能应用算法，计算预测结果与真实结果之间的误差度。
# 使用数据集对使用算法进行预测的结果的误差进行统计，一次判断算法好坏。algf为算法函数，trainset为训练数据集，testset为预测数据集 def testalgorithm(algf,trainset,testset): error=0.0 for row in testset: guess=algf(trainset,row['input']) #这一步要和样本数据的格式保持一致，列表内个元素为一个字典，每个字典包含input和result两个属性。而且函数参数是列表和元组 error+=(row['result']-guess)**2 #print row['result'],guess #print error/len(testset) return error/len(testset)
有了数据拆分和算法性能误差统计函数。我们就可以在原始数据集上进行多次这样的实验，统计平均误差。
# 将数据拆分和误差统计合并在一起。对数据集进行多次划分，并验证算法好坏 def crossvalidate(algf,data,trials=100,test=0.1): error=0.0 for i in range(trials): trainset,testset=dividedata(data,test) error+=testalgorithm(algf,trainset,testset) return error/trials
交叉验证测试
if __name__=='__main__': #只有在执行当前模块时才会运行此函数
data = wineset1() #创建第一批数据集
print(data)
error = crossvalidate(knnestimate,data) #对直接求均值算法进行评估
print('平均误差：'+str(error))
def knn3(d,v): return knnestimate(d,v,k=3) #定义一个函数指针。参数为d列表，v元组
error = crossvalidate(knn3, data) #对直接求均值算法进行评估
print('平均误差：' + str(error))
def knninverse(d,v): return weightedknn(d,v,weightf=inverseweight) #定义一个函数指针。参数为d列表，v元组
error = crossvalidate(knninverse, data) #对使用反函数做权值分配方法进行评估
print('平均误差：' + str(error))
不同类型、值域的变量、无用变量
在样本数据的各个属性中可能并不是取值范围相同的同类型的数据，比如上面的酒的属性可能包含档次（0-100），酒的年限（0-50），酒的容量（三种容量375.0ml、750.0ml、1500.0ml），甚至在我们获取的样本数据中还有可能包含无用的数据，比如酒生产的流水线号（1-20之间的整数）。在计算样本距离时，取值范围大的属性的变化会严重影响取值范围小的属性的变化，以至于结果会忽略取值范围小的属性。而且无用属性的变化也会增加数据之间的距离。
所以就要对样本数据的属性进行缩放到合适的范围，并要能删除无效属性。
构造新的数据集
# 构建新数据集，模拟不同类型变量的问题
def wineset2():
rows=[]
for i in range(300):
rating=random()*50+50 #酒的档次
age=random()*50 #酒的年限
aisle=float(randint(1,20)) #酒的通道号（无关属性）
bottlesize=[375.0,750.0,1500.0][randint(0,2)] #酒的容量
price=wineprice(rating,age) #酒的价格
price*=(bottlesize/750)
price*=(random()*0.2+0.9)
rows.append({'input':(rating,age,aisle,bottlesize),'result':price})
return rows
实现按比例对属性的取值进行缩放的功能
# 按比例对属性进行缩放，scale为各属性的值的缩放比例。
def rescale(data,scale):
scaleddata=[]
for row in data:
scaled=[scale[i]*row['input'][i] for i in range(len(scale))]
scaleddata.append({'input':scaled,'result':row['result']})
return scaleddata
那就剩下最后最后一个问题，究竟各个属性缩放多少呢。这是一个优化问题，我们可以通过优化技术寻找最优化解。而需要优化的成本函数，就是通过缩放以后进行预测的结果与真实结果之间的误差值。误差值越小越好。误差值的计算同前面交叉验证时使用的相同crossvalidate函数
下面构建成本函数
# 生成成本函数。闭包 def createcostfunction(algf,data): def costf(scale): sdata=rescale(data,scale) return crossvalidate(algf,sdata,trials=10) return costf weightdomain=[(0,10)]*4 #将缩放比例这个题解的取值范围设置为0-10，可以自己设定，用于优化算法
测试代码
if __name__=='__main__': #只有在执行当前模块时才会运行此函数 #========缩放比例优化=== data = wineset2() # 创建第2批数据集 print(data) import optimization costf=createcostfunction(knnestimate,data) #创建成本函数 result = optimization.annealingoptimize(weightdomain,costf,step=2) #使用退火算法寻找最优解 print(result)
不对称分布
对于样本数据集包含多种分布情况时，输出结果我们也希望不唯一。我们可以使用概率结果进行表示，输出每种结果的值和出现的概率。
比如葡萄酒有可能是从折扣店购买的，而样本数据集中没有记录这一特性。所以样本数据中价格存在两种形式的分布。
构造数据集
def wineset3(): rows=wineset1() for row in rows: if random()<0.5: # 葡萄酒是从折扣店购买的 row['result']*=0.6 return rows
如果以结果概率的形式存在，我们要能够计算指定范围的概率值
# 计算概率。data样本数据集，vec1预测数据，low，high结果范围，weightf为根据距离进行权值分配的函数 def probguess(data,vec1,low,high,k=5,weightf=gaussian): dlist=getdistances(data,vec1) #获取距离列表 nweight=0.0 tweight=0.0 for i in range(k): dist=dlist[i][0] #距离 idx=dlist[i][1] #索引号 weight=weightf(dist) #权值 v=data[idx]['result'] #真实结果 # 当前数据点位于指定范围内么？ if v>=low and v<=high: nweight+=weight #指定范围的权值之和 tweight+=weight #总的权值之和 if tweight==0: return 0 # 概率等于位于指定范围内的权重值除以所有权重值 return nweight/tweight
对于多种输出、以概率和值的形式表示的结果，我们可以使用累积概率分布图或概率密度图的形式表现。
绘制累积概率分布图
from pylab import * # 绘制累积概率分布图。data样本数据集，vec1预测数据，high取值最高点，k近邻范围，weightf权值分配 def cumulativegraph(data,vec1,high,k=5,weightf=gaussian): t1=arange(0.0,high,0.1) cprob=array([probguess(data,vec1,0,v,k,weightf) for v in t1]) #预测产生的不同结果的概率 plot(t1,cprob) show()
绘制概率密度图
# 绘制概率密度图 def probabilitygraph(data,vec1,high,k=5,weightf=gaussian,ss=5.0): # 建立一个代表价格的值域范围 t1=arange(0.0,high,0.1) # 得到整个值域范围内的所有概率 probs=[probguess(data,vec1,v,v+0.1,k,weightf) for v in t1] # 通过加上近邻概率的高斯计算结果，对概率值做平滑处理 smoothed=[] for i in range(len(probs)): sv=0.0 for j in range(0,len(probs)): dist=abs(i-j)*0.1 weight=gaussian(dist,sigma=ss) sv+=weight*probs[j] smoothed.append(sv) smoothed=array(smoothed) plot(t1,smoothed) show()
测试代码
if __name__=='__main__': #只有在执行当前模块时才会运行此函数 data = wineset3() # 创建第3批数据集 print(data) cumulativegraph(data,(1,1),120) #绘制累积概率密度 probabilitygraph(data,(1,1),6) #绘制概率密度图
