例 6.9 某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格，广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下销售量。为此，销售部门的研究人员收集了过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及周期其他厂家生产同类牙膏的市场平均销售价格，如表6.4所示。
试根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其他因素的关系，为制订价格策略和广告投入策略提供数量依据。
由于牙膏是生活的必需品，对于大多数顾客来说，在购买同类牙膏时，更多的会关心不同品牌之间的价格差，而不是它们的价格本身。因此，在研究各个因素对销售量的影响时，用价格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更为合适。
模型的建立与求解
记牙膏销售量为Y，价格差为X1，公司的广告费为X2，假设基本模型为线性模型:
输入数据，调用R软件中的lm（）函数求解，并用summary（）显示计算结果（程序名：exam0609.R）
计算结果通过线性回归系数检验和回归方程检验，由此得到销售量与价格差与广告费之间的关系为：
为进一步分析回归模型，我们画出y与x1和y与x2散点图。从散点图上可以看出，对于y与x1，用直线拟合较好。而对于y与x2，则用二次曲线拟合较好，如下图：
绘制x1与y的散点图和回归直线
绘制x2与y的散点图和回归曲线
其中 I(X2^2)，表示模型中X2的平方项，及X22，从上图中，将销售量模型改为：
似乎更合理，我们做相应的回归分析：
此时，我们发现，模型残差的标准差Residual standard error有所下降，相关系数的平方Multiple R-squared有所上升，这说明模型修正的是合理的。但同时也出现了一个问题，就是对于β2的P-值>0.05。为进一步分析，做β的区间估计。
如上错误出现？？？？！！！！直接引用结果如下：
β2的区间估计为[ –7.49886317, 0.1076898 ]，它包含了0，也就是说，β2的值可能为0. 因此，去掉X2的一次项，在进行分析：
此模型虽然通过了F检验和T检验，但与上一模型对比来看，Residual standard error上升，Multiple R-squared下降。这又是此模型的不足之处。
在做进一步的修正，考虑X1和X2交互作用，及模型为：
模型通过T检验和F检验，并且Residual standard error减少，Multiple R-squared增加。因此，最终模型选为：
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