先来一段百度百科上的搜索结果：
伴随阵法
定理：n阶矩阵为可逆的充分必要条件是A非奇异，且：
其中，是|A|中元素的代数余子式；矩阵
称为矩阵A的伴随矩阵，记作A*，于是有
用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循。因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可。
若可逆矩阵是二阶或二阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错。对于求出的逆炬阵是否正确，一般要通过来检验。一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查。
下面我们来设计一下伴随阵法矩阵求逆的C++代码。
首先，需要自定义一个矩阵类型
#include<vector> typedef vector<double> vec; typedef vector<vec> mat;
然后，设计矩阵数乘的代码
mat num_mul(mat A, double num) {
mat B(A.size(), vec(A[0].size()));
for(int i = 0; i < B.size(); i++)
for(int j = 0; j < B[0].size(); j++)
B[i][j] = A[i][j] * num;
return B;
}
再写一段计算伴随矩阵的代码
mat cutoff(mat A, int i, int j) { //切割，划去第1行第i列
mat B(A.size() - 1, vec(A.size() - 1));
for(int c = 0; c < B.size(); c++)
for(int r = 0; r < B.size(); r++)
B[c][r] = A[c + (c >= i)][r + (r >= j)];
return B;
}
double det(mat A) {
if(A.size() == 1)
return A[0][0]; //当A为一阶矩阵时，直接返回A中唯一的元素
double ans = 0;
for(int j = 0; j < A.size(); j++)
ans += A[0][j] * det(cutoff(A, 0, j)) * (j % 2 ? -1 : 1);
return ans;
}
mat company_mat(mat A) {
mat B(A.size(), vec(A.size()));
for(int i = 0; i < B.size(); i++)
for(int j = 0; j < B.size(); j++)
B[j][i] = det(cutoff(A, i, j)) * ((i + j) % 2 ? -1 : 1); //伴随矩阵与原矩阵存在转置关系
return B;
}
最后，把我原创的代码分享给大家
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
typedef vector<double> vec;
typedef vector<vec> mat;
mat cutoff(mat A, int i, int j) { //切割，划去第1行第i列
mat B(A.size() - 1, vec(A.size() - 1));
for(int c = 0; c < B.size(); c++)
for(int r = 0; r < B.size(); r++)
B[c][r] = A[c + (c >= i)][r + (r >= j)];
return B;
}
double det(mat A) {
if(A.size() == 1)
return A[0][0]; //当A为一阶矩阵时，直接返回A中唯一的元素
double ans = 0;
for(int j = 0; j < A.size(); j++)
ans += A[0][j] * det(cutoff(A, 0, j)) * (j % 2 ? -1 : 1);
return ans;
}
mat company_mat(mat A) {
mat B(A.size(), vec(A.size()));
for(int i = 0; i < B.size(); i++)
for(int j = 0; j < B.size(); j++)
B[j][i] = det(cutoff(A, i, j)) * ((i + j) % 2 ? -1 : 1);
return B;
}
void output(mat A) {
cout << "......\n";
for(int i = 0; i < A.size(); i++) {
for(int j = 0; j < A[0].size(); j++)
printf("%.2lf ", A[i][j]);
cout << '\n';
}
cout << "......\n";
}
mat num_mul(mat A, double num) {
mat B(A.size(), vec(A[0].size()));
for(int i = 0; i < B.size(); i++)
for(int j = 0; j < B[0].size(); j++)
B[i][j] = A[i][j] * num;
return B;
}
int main() {
int n;
scanf("%d", &n); //输入阶数
if(n == 0)
return 0;
mat A(n, vec(n));
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++)
scanf("%lf", &A[i][j]); //输入A各行各列的元素
mat B = num_mul(company_mat(A), 1 / det(A));
output(B);
return 0;
}
