# 无损卡尔曼滤波UKF（3）-预测-生成Sigma点
## 1 选择创建Sigma点
### A 根据
已知上一个时间戳迭代出来的
后验状态
```math
x_{k|k}
```
和后验协方差矩阵
```math
P_{k|k}
```
他们代表当前状态的分布。
Sigma点的数量取决于状态向量的维度
```math
n_{\sigma} = 2\cdot n_x + 1
```
如果以两个维度的状态向量为例。就可以生成五个sigma点。
```math
X_{k|k} = [P1,P2,P3,P4,P5]
```
矩阵的每一列都代表一个Sigma点。
```math
X_{k|k} = [x_{k|k},x_{k|k}+\sqrt[2]{(\lambda+n_x)P_{k|k}},x_{k|k}-\sqrt[2]{(\lambda+n_x)P_{k|k}} ]
```
关于Lambda,是一个设计的参数，一般情况下，按下面的设置，效果还不错
```math
\lambda = 3 - n_x
```
求矩阵的平方根 => 找到矩阵A
```math
A = \sqrt[2]{P_{k|k}} <= A^T A = P_{k|k}
```
第一个点就是状态向量的均值。
如果Lambda值大,Sigma点会距离均值点远一些。
#### 生成Sigma点的代码（1）
```cpp
/*
根据上述公式，完成生成Sigma点的函数
*/
void UKF::GenerateSigmaPoints(MatrixXd* Xsig_out) {
// 设置状态向量的维度
int n_x = 5;
// 定义传播参数
double lambda = 3 - n_x;
// 给定一个样例状态
VectorXd x = VectorXd(n_x);
x << 5.7441,
1.3800,
2.2049,
0.5015,
0.3528;
// 给定一个样例状态的协方差矩阵
MatrixXd P = MatrixXd(n_x, n_x);
P << 0.0043, -0.0013, 0.0030, -0.0022, -0.0020,
-0.0013, 0.0077, 0.0011, 0.0071, 0.0060,
0.0030, 0.0011, 0.0054, 0.0007, 0.0008,
-0.0022, 0.0071, 0.0007, 0.0098, 0.0100,
-0.0020, 0.0060, 0.0008, 0.0100, 0.0123;
// 创建Sigma点的矩阵、一列代表一个Sigma点、
MatrixXd Xsig = MatrixXd(n_x, 2 * n_x + 1);
// 计算矩阵P的平方根
MatrixXd A = P.llt().matrixL();
// 设置Sigma矩阵的第一列，一列代表一个Sigma点
Xsig.col(0) = x;
// 设置Sigma矩阵剩下的点
for (int i = 0; i < n_x; ++i) {
Xsig.col(i+1) = x + sqrt(lambda+n_x) * A.col(i);
Xsig.col(i+1+n_x) = x - sqrt(lambda+n_x) * A.col(i);
}
// 打印结果
std::cout << "Xsig = " << std::endl << Xsig << std::endl;
// 返回结果
*Xsig_out = Xsig;
}
```
### B 扩充后创建Sigma点
##### 考虑到噪声的影响？？
1. 扩充状态的平均值中添加了两个噪声值。
1. 纵向加速度项和角加速度项。均值为0 ，一定方差的正态分布。
1. 他们的平均值为零，因此在平均状态的Sigma点，将他们的值设置为零。
1. 用零填充扩充的协方差矩阵。
1. 然后，使用topLeftcorner函数设置扩充的协方差矩阵的左上块。
1. 方差放入增强矩阵的右下块。 该2x2块对应于矩阵QQ。
除了这次创建了更多的sigma点，其余部分与以前完全相同。
```cpp
void UKF::AugmentedSigmaPoints(MatrixXd* Xsig_out) {
// 维数
int n_x = 5;
// 扩展后维数为7
int n_aug = 7;
// Process noise standard deviation longitudinal acceleration in m/s^2
double std_a = 0.2;
// Process noise standard deviation yaw acceleration in rad/s^2
double std_yawdd = 0.2;
// 定义传播参数
double lambda = 3 - n_aug;
VectorXd x = VectorXd(n_x);
x << 5.7441,
1.3800,
2.2049,
0.5015,
0.3528;
MatrixXd P = MatrixXd(n_x, n_x);
P << 0.0043, -0.0013, 0.0030, -0.0022, -0.0020,
-0.0013, 0.0077, 0.0011, 0.0071, 0.0060,
0.0030, 0.0011, 0.0054, 0.0007, 0.0008,
-0.0022, 0.0071, 0.0007, 0.0098, 0.0100,
-0.0020, 0.0060, 0.0008, 0.0100, 0.0123;
// 创建扩充后的平均值向量
VectorXd x_aug = VectorXd(7);
// 创建扩充后的状态协方差矩阵
MatrixXd P_aug = MatrixXd(7, 7);
// 创建扩充后的Sigma矩阵
MatrixXd Xsig_aug = MatrixXd(n_aug, 2 * n_aug + 1);
// 设置扩充后的平均值向量的参数值
x_aug.head(5) = x;
x_aug(5) = 0;
x_aug(6) = 0;
// 设置扩充后的状态协方差矩阵
P_aug.fill(0.0);
P_aug.topLeftCorner(5,5) = P;
P_aug(5,5) = std_a*std_a;
P_aug(6,6) = std_yawdd*std_yawdd;
// 求P的平方根
MatrixXd L = P_aug.llt().matrixL();
// 设置Sigma矩阵其他位置的值
Xsig_aug.col(0) = x_aug;
for (int i = 0; i< n_aug; ++i) {
Xsig_aug.col(i+1) = x_aug + sqrt(lambda+n_aug) * L.col(i);
Xsig_aug.col(i+1+n_aug) = x_aug - sqrt(lambda+n_aug) * L.col(i);
}
std::cout << "Xsig_aug = " << std::endl << Xsig_aug << std::endl;
*Xsig_out = Xsig_aug;
}
```
