为什么需要复杂度分析

　　我们可以把代码跑一遍，然后通过一些工具来统计、监控就能得到算法执行的时间和占用的内存大小。为什么还要做时间、空间复杂度分析呢？这种分析方法能比我实实在在跑一遍得到的数据更准确吗？

　　首先，肯定的说这种评估算法执行效率的方法是正确的。很多数据结构和算法书籍还给这种方法起了一个名字，叫事后统计法。但是这种统计方法存在一定的局限性。

1、测试结果依赖测试的环境以及数据规模的影响

　　比如，我们拿同样一段代码，再不同的机器以及不同的数据规模可能会有不同的结果。

2、掌握复杂度分析，将能编写出性能更优的代码

所以我们需要一个不用具体的测试环境、测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执行效率的方法，这就是我们需要的时间、空间复杂度分析方法。

大 O 复杂度表示法

　　算法的执行效率，简单的说就是代码执行的时间。但是怎么样在不运行代码的情况下，用“肉眼”得到一段代码的执行时间呢？这里有段非常简单的代码，求 1,2,3...n 的累加和。现在来估算一下这段代码的执行时间。

1 function countSum(n) {
2    let sum = 0;
3    console.log(n)
4    for (i = 0; i <= n; ++i) {
5      sum = sum + i;
6    }
7    return sum;
8  }

每行代码对应的 CPU 执行的个数、执行的时间都不一样，所以只是粗略估计，我们可以假设每行代码执行的时间都一样为 unit_time。在这个假设的基础之上，这段代码的总执行时间是多少呢？

第 2、3 行代码分别需要 1 个 unit_time 的执行时间，第 4、5 行都运行了 n 遍，所以需要 2n * unit_time 的执行时间，所以这段代码总的执行时间就是 (2n+2) * unit_time。

尽管我们不知道 unit_time 的具体值，但是通过代码执行时间的推导过程，我们可以得到一个非常重要的规律，那就是所有代码的执行时间 T(n) 与代码的执行次数 f(n) 成正比。

我们可以把这个规律总结成一个公式，这个公式就是数据结构书上说的大O表示法。

我来具体解释一下这个公式：

• T(n) 表示代码执行的时间
• n 表示数据规模的大小
• f(n) 表示代码执行的次数总和

　　因为这是一个公式，所以用 f(n) 来表示。公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。

　　所以，上面例子中的 T(n) = O(2n+2)，这就是大 O 时间复杂度表示法。大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

时间复杂度分析

分析大O一般的步骤如下：

1. 用常数1代替运行中的所有的加法常数 n + 2 + 3 + 4 等于 n + 1
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 如 n^3 + n^2 等于 n^3
3. 如果最高阶项存在且不为1，则去掉与这个项相乘的常数 如 3n^2 等于 n^2

通过上面三个步骤可以总结出几个方法

1. 只关注循环执行次数最多的一段代码

大 O 这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。通过上面的公式我们会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级。所以我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次数的 n 的量级，就是整段要分析代码的时间复杂度。

2.加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

如果是很长的一个代码段，可以把他们拆分计算时间复杂度，然后再加起来

 1 function countSum(n) {
 2    let sum_1 = 0;
 3    console.log('计算：sum_1')
 4    for (let p = 0; p < 100; ++p) {
 5      sum_1 = sum_1 + p;
 6    }
 7 
 8    let sum_2 = 0;
 9    console.log('计算：sum_2')
10    for (let q = 0; q < n; ++q) {
11      sum_2 = sum_2 + q;
12    }
13  
14    let sum_3 = 0;
15    console.log('计算：sum_3')
16    for (let i = 0; i <= n; ++i) {
17      j = 1; 
18      for (let j = 0; j <= n; ++j) {
19        sum_3 = sum_3 +  i * j;
20      }
21    }
22  
23    return sum_1 + sum_2 + sum_3;
24  }

这个代码分为三部分，分别是求 sum_1、sum_2、sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度，然后把相加，再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。

第一段的时间复杂度是多少呢？这段代码循环执行了 100 次，所以是一个常量的执行时间，跟 n 的规模无关。强调一下，即便这段代码循环 10000 次、100000 次，只要是一个已知的数，跟 n 无关，照样也是常量级的执行时间。当 n 无限大的时候，就可以忽略。尽管对代码的执行时间会有很大影响，但是回到时间复杂度的概念来说，它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势，所以不管常量的执行时间多大，我们都可以忽略掉。因为它本身对增长趋势并没有影响。

那第二段代码和第三段代码的时间复杂度应该很容易分析出来是 O(n) 和 O(n^2)。

综合这三段代码的时间复杂度，我们取其中最大的量级。所以，整段代码的时间复杂度就为 O(n^2)。也就是说：总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。

3.乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

假设有一个嵌套的循环，我们把第一层循环叫T1,那么T1(n)=O(f(n))，第二层循环叫T2，那么T2(n)=O(g(n))，总共时间 T(n)=T1(n)*T2(n) = O(f(n))*O(g(n))= O(f(n) * g(n))

假设 T1(n) = O(n)，T2(n) = O(n^2)，则 T1(n) * T2(n) = O(n^3)。在具体的代码上，我们可以把乘法法则看成是嵌套循环

如上面计算sum_3的代码段 两个循环为O(n^2)。

常见时间复杂度实例分析

O(1)

O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。比如这段代码，即便有 3 行，它的时间复杂度也是 O(1），而不是 O(3)。

1 const i = 8; 
2 const j = 6; 
3 const sum = i + j;

只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

O(logn)

对数阶时间复杂度非常常见，如

1 i=1;
2 while (i <= n) {
3   i = i * 2; 
4 }

根据说的复杂度分析方法，第三行代码是循环执行次数最多的。所以，我们只要能计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的时间复杂度。从代码中可以看出，变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2。当大于 n 时，循环结束。实际上变量 i 的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来，就应该是这个样子的：

 所以，我们只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过 2x=n 求解 x 这个问题我们想高中应该就学过了，我就不多说了。x=log2n，所以，这段代码的时间复杂度就是 O(log2n)。

O(n)

O(n)级别有个非常显著的特征就，它会存在一个循环，且循环的次数是和n相关

1 function countSum (n) {
2   let sum = 0
3   for (let i = 0; i < n; i++) {
4     sum += i
5   }
6 }

O(n^2) 

O(n^2)级别的有双重循环

function countSum (n) {
  let sum = 0
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    sum += i
    for (let J = 0; J < n; i++) {
      // do some thing
   }
  }
}

不是所有的双重循环都是n^2

1 function countSum (n, m) {
2   let sum = 0
3   for (let i = 0; i < n; i++) {
4     sum += i
5     for (let J = 0; J < m; i++) {
6       // do some thing
7    }
8   }
9 }

这种是由两个数据规模n、m来决定的时间复杂度，所以是O(n * m)，关键还是要分析嵌套的循环跟外面那层循环的关系。

时间复杂度耗费时间从小到大依次排列

　　O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n2) < O(n3) < O(2n) < O(n!) < O(nn)

常见排序算法对应的时间复杂度

空间复杂度

 时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。同理，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系，空间复杂度分析跟时间复杂度类似。

1 function run (n) {
2     let name = 'joel'
3     let step= 2
4     const arr = []
5 
6     for (let i = 0; i < n; i++) {
7       arr.push(i * step)
8    }
9 }

再第4行代码我们初始化一个数组，再第7行代码对这个数组进行push 操作，这个循环是依赖外部的n，所以这个空间复杂度为 O(n)，我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )